Radiant Foam 用 Voronoi 泡沫做了实时光追辐射场，但 Voronoi 细胞平均有 15 个面，没法用显卡的光栅化管线画。 Radiance Meshes 换了对偶的另一半：Delaunay 四面体。四面体只有 4 个三角面——而三角形正是 GPU 硬件天生就会画的东西。于是同一个"分段常数密度"的辐射场，既能光栅化、又能光线追踪，而且体积分是 解析精确的，在 1440p 下比 3DGS 还快 32%。
预设读者：会基本的 NeRF（体渲染那条积分）、线性代数、微积分。不会 Delaunay / 四面体网格 / 可微拓扑也没关系——
我们从头讲，并把论文每一步对到官方代码 half-potato/radiance_meshes。如果你读过隔壁的
Radiant Foam 拆解，这页就是它"四面体版的孪生兄弟"，对比着读最划算。
零基础：从 §1 顺读，§4 的对偶演示先玩 30 秒。 已经懂 3DGS / Radiant Foam：直接跳 §6（外接球排序）、§7（怎么把四面体塞进光栅化管线）、§9 （外心查询的可微性）——这三节是 Radiance Meshes 和前作真正分道扬镳的地方。 只想看后续：跳到 §15。
从带位姿的照片重建可换视角的 3D 场景，主流四条路线，Radiance Meshes 是第四条：
用 Delaunay 四面体（不是 Voronoi 细胞）来切场景：四面体只有 4 个三角面，显卡的光栅化管线原生就能画； 密度在每个四面体内是常数、颜色线性变化，于是体渲染积分有解析闭式；用外接球的幂排序得到 严格正确的前后顺序（连鱼眼相机都对）；属性不存在顶点上，而是用一个 Instant-NGP 哈希场在每个四面体的外心处查询， 这样即使拓扑翻转，场也连续可导。
作者 Mai, Hedstrom, Kopanas, Kontkanen, Kuester, Barron（UC San Diego + Google），CVPR 2026 Highlight，
代码与 WebGPU 在线 demo 全开源（half-potato.gitlab.io/rm）。
还是那条发射-吸收体渲染积分，一条光线 $\mathbf{r}(t)=\mathbf{o}+t\mathbf{d}$：
$$ \mathbf{C} = \int_{0}^{\infty} T(t)\,\sigma(\mathbf{r}(t))\,\mathbf{c}(\mathbf{r}(t),\mathbf{d})\,dt, \qquad T(t)=\exp\!\Big(-\!\int_0^t \sigma\,ds\Big) $$关键差别在 $\sigma$ 和 $\mathbf{c}$ 的形状：密度在每个四面体内是常数 $\sigma_k$，颜色在四面体内是线性的 $\mathbf{c}_k(\mathbf{p})=\mathbf{c}_k^0+\nabla\mathbf{c}_k\cdot(\mathbf{p}-\mathbb{O}_k)$。 于是光线穿过四面体 $k$ 的那一段（入口 $t_k^{\text{in}}$、出口 $t_k^{\text{out}}$） 的贡献有解析闭式——只用到入口颜色和出口颜色：
$$ \Delta\mathbf{C}_k = \Big(1-\tfrac{\alpha_k}{d_k}\Big)\mathbf{c}_k^{\text{in}} \;+\;\Big(\tfrac{\alpha_k}{d_k}-e^{-d_k}\Big)\mathbf{c}_k^{\text{out}}, \qquad d_k=(t_k^{\text{out}}-t_k^{\text{in}})\,\sigma_k,\quad \alpha_k=1-e^{-d_k} $$ $$ \mathbf{C}=\sum_k w_k\,\Delta\mathbf{C}_k,\qquad w_k=\prod_{l=1}^{k-1}(1-\alpha_l) $$注意 $\Delta\mathbf{C}_k$ 同时含入口色 $\mathbf{c}_k^{\text{in}}$ 和 出口色 $\mathbf{c}_k^{\text{out}}$——这正是"颜色线性"带来的：常数颜色只需一个值，线性颜色要两端。 这个和式严格等于积分（不是 NeRF 那种数值近似，也不是高斯叠加近似）。
$d_k=\sigma_k\cdot$弦长 是这段的"光学厚度"。$\alpha_k=1-e^{-d_k}$ 是这段吃掉光的比例。 $w_k$ 是走到第 $k$ 段前还剩多少透射率。$\alpha_k/d_k$ 这个因子是积分里"线性颜色 沿程加权平均"的结果——当 $d_k\to 0$ 整段贡献趋于 0（代码里要对 $d_k$ 很小做保护）。
Radiant Foam 和 Radiance Meshes 用的是同一组点的两种对偶切分：Voronoi 细胞 vs Delaunay 四面体。 选哪个，决定了你能不能用显卡的光栅化硬件。下面这张表是两篇论文的真正分水岭。
| Radiant Foam（Voronoi） | Radiance Meshes（Delaunay tet） | |
|---|---|---|
| 图元 | Voronoi 细胞 | Delaunay 四面体 |
| 每个图元的面数 | 平均 ~15.5 面 | 恰好 4 个三角面 |
| 能否硬件光栅化 | 否（要把多边形面剖成几十个三角形） | 能（三角形原生支持） |
| 渲染路径 | 只有光线追踪 | 光栅化 + 光线追踪 两条 |
| 密度 / 颜色 | 常数 / 球谐 | 常数 / 线性（颜色梯度） |
| 属性存哪 | 直接存在 site 上 | Instant-NGP 哈希场，在外心查询 |
| 可微性的解法 | 零面积翻转 | 外心连续 + Zip-NeRF 降权 |
| 容量（RTX 4090） | ~3.3M 细胞 | ~15M 四面体 |
论文原话："与 Voronoi 图不同，Delaunay 四面体剖分给出的是简单三角形，现有硬件原生支持。" 而 Radiant Foam 当初故意没用四面体，是因为"顶点位置到网格拓扑的映射不连续"（翻转）—— Radiance Meshes 的核心贡献，正是用 §9 的外心查询把这个不连续解掉了。
给一组顶点 $\{\mathbf{v}_i\}$，Delaunay 四面体剖分把空间填满成不重叠的四面体 $T_k$， 满足"空外接球"性质（每个四面体的外接球内不含其它顶点）。它是 Voronoi 的对偶。
但 Radiance Meshes 有个反直觉的设计：它不把密度/颜色直接存在顶点或四面体上。而是维护一个 Instant-NGP 多分辨率哈希场 $G_\theta$（配 Mip-NeRF 360 的空间收缩），然后在每个四面体的 外心 $\mathbb{O}_k$ 处查询它，得到该四面体的特征，再解码成密度和颜色。
这是全篇的胜负手，留到 §9 详讲。一句话先剧透：当拓扑翻转时，参与翻转的两个四面体外心几乎重合 （翻转点附近四点近似共球）。所以"在外心查询场"这件事跨翻转是连续的——而如果把值存在顶点上， 翻转会让值突然跳变，没法求导。
从外心查到的特征 $\mathbf{b}_k$ 解码出三样东西（论文 Eq. 9–12）。先用 Zip-NeRF 的尺度降权 $\varphi$ 按外接半径 $\mathbb{R}_k$ 压掉高频哈希特征（细长四面体半径暴涨时尤其重要）：
$$ \mathbf{b}_k=\varphi(\mathbb{R}_k)\odot G_\theta(\mathbb{O}_k),\qquad \sigma_k=\exp\big(h_\sigma(\mathbf{b}_k)\big) $$ $$ \mathbf{c}_k^0=\mathrm{softplus}_{\beta=10}\!\big(h_{\text{sh}}(\mathbf{b}_k)\cdot Y(\mathbf{d}_k)\big),\qquad \nabla\mathbf{c}_k=\frac{\min \mathbf{c}_k}{\mathbb{R}_k}\cdot\frac{h_\Delta(\mathbf{b}_k)}{\sqrt{1+\lVert h_\Delta(\mathbf{b}_k)\rVert^2}} $$| 量 | 怎么来 | 含义 |
|---|---|---|
| 密度 $\sigma_k$ | $\exp(h_\sigma(\mathbf{b}_k))$ | 四面体内常数 |
| 基色 $\mathbf{c}_k^0$ | 球谐 $Y(\mathbf{d}_k)$ · softplus | 视角相关（SH 阶数论文未明示） |
| 颜色梯度 $\nabla\mathbf{c}_k$ | 受约束保证非负 | 让颜色在四面体内线性变化 |
规模感：每场景约 920 万（室外）/ 420 万（室内）四面体，单卡 RTX 4090 最多可达 ~1500 万四面体
（Radiant Foam 约 330 万 Voronoi 细胞）。Web 导出配置用 --budget 250000 顶点上限以适配浏览器。
要把许多四面体合成成一张图，得有正确的前后顺序。3DGS 按高斯中心到相机的距离排，会在视角变化时 突然换序（popping）。Radiance Meshes 用一个更聪明、且可证明正确的键——四面体外接球 关于光线原点 $\mathbf{o}$ 的幂：
$$ P(T)=\lVert \mathbb{O}(T)-\mathbf{o}\rVert^2-\mathbb{R}(T)^2 $$其中 $\mathbb{O}(T),\mathbb{R}(T)$ 是外接球的球心和半径。按 $P$ 升序排，就是严格正确的 前→后顺序，没有 popping。而且它只依赖光线原点，不依赖光线方向——所以只要所有光线共用一个 原点（针孔、鱼眼、各种畸变相机都算），这个排序都成立。这就是 Radiance Meshes 能免费支持鱼眼的原因。
把"会动的几何"喂给光栅化管线很慢。Radiance Meshes 的诀窍：发送冗余但静态的几何——把每个面复制两份、 每个顶点按它连接的四面体数复制多份，让固定功能管线自己筛。每个四面体作为一个图元：顶点/网格着色器 算好 4 个面的平面方程，片元着色器用透视正确的重心插值恢复出入口/出口交点，套上 §2 的闭式。
入口/出口距离用 Cyrus–Beck 裁剪对 4 个面求交。论文 Algorithm 1 预算了 4 个顶点处的平面交点， 让每个片元只花 12 FLOPs。核心片元逻辑（已贴近 shader 写法）：
# 片元着色器：对四面体 4 个面做 Cyrus–Beck 裁剪，取入/出 t（~12 FLOPs）
d = length(ray_dir)
planeD = planeD / d
all_t = planeN / planeD # 光线到 4 个面的参数
t_enter = max(all_t[planeD > 0]) # 朝前的面里最靠后的 = 入口
t_exit = min(all_t[planeD < 0]) # 朝后的面里最靠前的 = 出口
# 然后用 §2 的闭式：d_k=(t_exit-t_enter)*sigma; alpha=1-exp(-d_k)
# dC = (1 - alpha/d_k)*c_in + (alpha/d_k - exp(-d_k))*c_out
两个 shader 变体：Mesh shader（最快，一个线程块协作生成网格数据，靠 warp shuffle 让每个四面体只加载一次）； Instanced（兼容 WebGL / 移动端，每个四面体画一条实例化三角带，顶点加载 4 次）。顺序由 §6 的幂排序给出。 这条路在 MipNeRF360 上达到 240 FPS（室外）/ 384 FPS（室内），1440p 下比 3DGS 快约 32%。
另一条路用 OptiX，借用了 3DGRT 的透明度处理。它不像 Radiant Foam 那样靠邻接逐面行走， 而是把每个四面体作为 4 个代理三角形交给 OptiX 的硬件三角求交，命中后同样用 Cyrus–Beck 算 入口/出口距离，套 §2 闭式。速度 84 FPS（室外）/ 190 FPS（室内），比 Radiant Foam 的光追器 快约 17%。
光栅化和光线追踪算的是同一个精确闭式（§2 的 Eq.）。光栅化更快、连 WebGPU/移动端都能跑；光追更灵活， 适合二次光线/特效，并复用 3DGRT 的透明度。能二选一，正是因为图元是三角形——硬件这两条管线都认。
训练要对顶点位置 $\mathbf{v}_i$ 求导。但顶点一动，Delaunay 连接就会通过边翻转（Pachner move） 突变：四面体凭空出现/消失。这正是 Radiant Foam 当年绕开四面体的原因。Radiance Meshes 的解法和 Radiant Foam 不同—— 不是"零面积"，而是：
属性不存顶点，而是用哈希场在四面体外心处查询。翻转发生时，参与翻转的两个四面体 四点近似共球，所以它们的外接球几乎是同一个，外心几乎重合。于是"在外心查到的密度/颜色" 跨翻转是连续的——拓扑离散跳变，但场连续可导。再加 Zip-NeRF 降权 $\varphi(\sigma)=\mathrm{erf}\!\big(1/\sqrt{8\sigma^2 n_\ell^2}\big)$，在四面体变细长（外接半径暴涨）时 压掉高频哈希特征，稳住数值。
对照一下两兄弟的可微性策略，会更清楚它们是同一几何事实的两种用法（翻转点四点共球）：
| Radiant Foam | Radiance Meshes | |
|---|---|---|
| 渲染的图元 | Voronoi 细胞 | Delaunay 四面体 |
| 翻转时的几何事实 | 共享 Voronoi 面面积→0 | 两四面体外心→重合 |
| 因此连续的原因 | 零面积墙贡献为 0 | 外心查询点连续移动 |
| 属性存哪 | 直接存 site | 哈希场，外心采样 |
下面这个演示把"外心相遇"演给你看——它是 Radiance Meshes 可微性的全部秘密。
L–R 还是 T–B，在外心查到的值都连续——
拓扑跳了，可导性没断。（对比：如果把颜色存在顶点 T 上，翻转会让它瞬间换归属、跳变。）
顶点 $\{\mathbf{v}_i\}$ 从 COLMAP SfM 点云初始化（初始点数论文未明确给出）。四面体剖分用 gDel3D——一个 GPU 上的 3D Delaunay 库（不是 CGAL/qhull/scipy），代码里作为子模块。 整个训练里它每 10 个迭代从头重建一次——这就是为什么"快速重建三角剖分"是设计前提：顶点一直在动， 剖分必须便宜到能频繁重算。
这部分论文正文给的数字偏少，下面区分"论文明说的"和"来自官方仓库 / 未公开的"，照实标注：
--iterations 10000、--freeze_start 8000
（后段冻结顶点）。单步开销（约 120 万四面体）大致：渲染 ~19ms + 哈希查询 ~13ms + 反传 ~143ms + Delaunay 重建 ~92ms ≈ ~267ms/步。 整盘训练 RTX 4090 上 每场景约 2.6–4.5 GPU·小时——比 3DGS（~0.5h）和 Radiant Foam（~1.6h）都慢， 这是它换来"两条渲染路 + 高质量"的代价。
致密化每 500 步一次，用两个"分裂分数"决定哪些四面体要加点：
--within_thresh / --total_thresh / --budget。）
剪枝/阈值方面，正文未详述显式 prune；网格抽取时按峰值颜色贡献剔除贡献 <0.1 的四面体
（仓库另有 --alpha_threshold / --density_threshold）。
T 怎么衰减。
数据集 Mip-NeRF360 + Tanks&Temples + Deep Blending。一句话总结：质量稳压 Radiant Foam、略低于 3DGS， 但渲染（尤其室内/光栅化）最快，代价是训练慢。
| 场景组 | 指标 | Radiance Mesh | 3DGS | Radiant Foam |
|---|---|---|---|---|
| MipNeRF360 室外 | PSNR/SSIM/LPIPS | 24.38 / 0.721 / 0.292 | 24.63 / 0.729 / 0.271 | 23.90 / 0.663 / 0.366 |
| MipNeRF360 室内 | PSNR/SSIM/LPIPS | 30.61 / 0.920 / 0.252 | 31.05 / 0.924 / 0.238 | 30.66 / 0.906 / 0.251 |
| T&T + DB | PSNR/SSIM/LPIPS | 26.45 / 0.879 / 0.286 | 26.65 / 0.876 / 0.263 | 19.20 / 0.590 / 0.543 |
| 场景组 | RM 光栅化 FPS | 3DGS FPS | RadFoam FPS | RM 光追 FPS |
|---|---|---|---|---|
| 室外 | 240 | 145 | 234 | 84 |
| 室内 | 384 | 251 | 162 | 190 |
| T&T + DB | 475 | 535 | 353 | — |
关键读数：在 T&T+DB 上 Radiant Foam 直接崩到 19.20 PSNR，Radiance Meshes 稳在 26.45——优化鲁棒性是它相对 Radiant Foam 最大的实绩。光追路比 RadFoam 快 17%。训练时间 RM 3.5–4.5h vs 3DGS ~0.5h vs RadFoam ~1.6h， 是明显短板。单卡容量 ~15M 四面体 vs RadFoam ~3.3M 细胞。
<0.1）即可抽出水密的不透明三角网格，能直接拖进 Blender。（注：论文未展示重光照 relighting；演示的应用是鱼眼、网格抽取、物理、编辑。）
Radiance Meshes 才几个月（2025-12），引用集很小。诚实声明：下面每个 arXiv 编号我都逐一核对过 arXiv 页面确认存在。 真正"基于它的四面体表示往下做"的，目前确凿只有一篇；其余是外围引用或同期近邻，照实分层。
把体积四面体表示端到端变成干净、全局一致的表面网格，而不是事后跑一遍抽取。
关键想法：沿用 Radiance Meshes 的 Delaunay 四面体基底，但在四面体格上优化一个连续 SDF，
用 alpha 合成栅格化四面体，并把可微 Marching Tetrahedra 放进优化环里，直接端到端抽出表面网格。
它在参考文献里引用 Radiance Meshes（key radiancemeshes），但摘要主打 SDF+栅格化，未在摘要点名。
Radiance Meshes 的四面体装的是密度场（为渲染）；SDFRaster 把它换成 SDF（为表面），转向端到端网格重建。
以下三篇在引用图谱里引了 Radiance Meshes，但摘要均未涉及四面体/Delaunay，多半是相关工作里的并列一引：
Radiance Meshes 的全部聪明可以压成两句：(a) 把场景切成 Delaunay 四面体而不是 Voronoi 细胞——四面体只有 4 个三角面， 所以显卡的光栅化和光追两条管线都能精确画，再靠"外接球的幂"得到无 popping 的正确顺序；(b) 属性不存顶点、而是用哈希场在四面体 外心处查询——翻转时两外心相遇，于是拓扑离散跳变、场却连续可导。它是 Radiant Foam 的对偶版：用对偶结构换来了硬件友好与 优化鲁棒，代价是训练更慢。
| 术语 | 解释 |
|---|---|
| Delaunay 四面体剖分 | 把空间填满成四面体、满足"空外接球"性质；Voronoi 的对偶。 |
| 外心 circumcenter | 四面体外接球的球心；属性在此处查询，跨翻转连续。 |
| 外接球的幂 power | $P=\lVert\mathbb{O}-\mathbf{o}\rVert^2-\mathbb{R}^2$；排序键，给出正确前后序。 |
| 边翻转 / Pachner move | 顶点移动时 Delaunay 连接的离散突变。 |
| 分段常数密度 | 每个四面体内密度为常数，使体积分有闭式。 |
| 分段线性颜色 | 颜色在四面体内线性变化（基色 + 梯度），闭式要用入/出两端色。 |
| Instant-NGP 哈希场 | 多分辨率哈希网格，存外观/密度；在外心采样。 |
| Zip-NeRF 降权 | $\varphi=\mathrm{erf}(\cdot)$ 按尺度压高频哈希特征，稳住细长四面体。 |
| Cyrus–Beck 裁剪 | 光线对凸体（4 个面）求入/出参数的经典算法。 |
| gDel3D | GPU 上的 3D Delaunay 库；每 10 步重建一次剖分。 |
| Mesh shader | 现代 GPU 几何管线阶段；RM 最快的栅格化变体。 |
| Marching Tetrahedra | 从四面体标量场抽等值面网格；SDFRaster 用其端到端抽表面。 |
按理解台阶排，不按时间：
half-potato/radiance_meshes——把 §11/§12 的未公开超参对到 train.py 的 argparse 默认值。